Question

已知B₁，B₂為橢圓C₁：＋y²＝1(a＞1)短軸的兩個端點，F為橢圓的一個焦點，△B₁FB₂為正三角形，

(I)求橢圓C₁的方程；

(II)設點P在拋物線C₂：－1上，C₂在點P處的切線與橢圓C₁交于A、C兩點，若點P是線段AC的中點，求AC的直線方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵，設 　　∵為正三角形 　　∴　　2分 　　∴ 　　∴橢圓的方程是　　4分 　　(Ⅱ)方法一：設點P的坐標為， 　　∵函數的導數為 　　∴在點P處的切線的方程為：　　6分 　　代入橢圓的方程得： 　　即：(*)　　8分 　　設，有 　　∵P是AC的中點∴　　11分 　　得：　解得： 　　或　　13分 　　把代入(*)得：，沒有兩個交點； 　　把代入(*)得：，，有兩個交點　　14分 　　所以直線AC的方程是：　　15分 　　方法二：設 　　∵函數的導數為 　　∴直線AC的斜率　　6分 　　∵A，C在橢圓上， 　　∴(1)－(2)得： 　　9分 　　∴直線AC的斜率 　　又∵得解得：或　　13分 　　當時，P點坐標為，直線AC與橢圓相切，舍去； 　　當時，點P的坐標為，顯然在橢圓內部， 　　所以直線AC的方程是：　　15分