Question

（2011•通州區一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

4

5

，兩焦點為F₁，F₂，B₁，B₂為橢圓C短軸的兩端點，動點M在橢圓C上．且△MF₁F₂的周長為18．
（I）求橢圓C的方程；
（II）當M與B₁，B₂不重合時，直線B₁M，B₂M分別交x軸于點K，H．求

OH

•

OK

的值；
（III）過點M的切線分別交x軸、y軸于點P、Q．當點M在橢圓C上運動時，求|PQ|的最小值；并求此時點M的坐標．

Answer 1

分析：（I）由e=

4

5

，得

c

a

=

4

5

①，由△MF₁F₂的周長為18，得a+c=9②．聯立①②解得a，c，根據b²=a²-c²可求得b；
（II）由（I）易求B₁，B₂坐標，設M（x₀，y₀）（x₀≠0），由點斜式可得直線B₁M的方程、直線B₂M的方程，由直線方程可得點K、H坐標，通過計算可得

OH

•

OK

的值；
（III）設切線方程為：y=kx+m（k≠0），代入橢圓方程得，（25k²+9）x²+50kmx+25m²-225=0（*），則△=0，點P（-

m

k

，0），Q（0，m），由兩點間距離公式可得|PQ|²，利用基本不等式求其最小值，由等號成立條件可求得k值，進而得m值，再代入（*）式可得點M橫坐標，進而得縱坐標，根據對稱性可得其它象限的坐標；

解答：解：（I）由e=

4

5

，得

c

a

=

4

5

①，
由△MF₁F₂的周長為18，得2a+2c=18，即a+c=9②．
聯立①②解得a=5，c=4，所以b²=a²-c²=9，
所以橢圓C的方程為：

x2

25

+

y2

9

=1；
（II）由（I）可得B₁（0，-3），B₂（0，3），
設M（x₀，y₀）（x₀≠0），則直線B₁M的方程為：y=

y0+3

x0

x-3，直線B₂M的方程為：y=

y0-3

x0

x+3，
令y=0，得xK=

3x0

y0+3

，xH=

-3x0

y0-3

，則

OH

=(

-3x0

y0-3

，0)，

OK

=(

3x0

y0+3

，0)，
所以

OH

•

OK

=

-3x0

y0-3

×

3x0

y0+3

=

-9x02

y02-9

，
又

x02

25

+

y02

9

=1，所以y02-9=-

9

25

x02，代入上式，得

OH

•

OK

=

-9x02

- 9 25 x02

=25；
（III）設切線方程為：y=kx+m（k≠0），代入橢圓方程得，（25k²+9）x²+50kmx+25m²-225=0（*），
則△=（50km）²-4（25k²+9）（25m²-225）=0，即m²=25k²+9①，
點P（-

m

k

，0），Q（0，m），
則|PQ|²=

m2

k2

+m2=m2(1+

1

k2

)=(25k2+9)(1+

1

k2

)=25k2+

9

k2

+34≥2

25k2• 9 k2

+34=64，
當且僅當k2=

3

5

，即k=±

15

5

時取等號，
所以|PQ|的最小值為8，
此時m²=25k²+9=24，所以m=±2

6

，
當m=2

6

，k=

15

5

時，代入（*）式并化簡得8x2+20

10

x+125=0，
解得x=-

5 10

4

，y=

15

5

×（-

5 10

4

）+2

6

=

3 6

4

，
此時點M（-

5 10

4

，

3 6

4

），
由橢圓的對稱性可得當點M在第一、三、四象限時坐標分別為：（

5 10

4

，

3 6

4

），（-

5 10

4

，-

3 6

4

），（

5 10

4

，-

3 6

4

）．

點評：本題考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關系，考查向量的數量積運算、基本不等式求最值，考查學生分析解決問題的能力．