Question

【題目】已知圓C：x2+y2+x-6y+m=0與直線l：x+2y-3=0．

（1）若直線l與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；

（2）若直線l與圓C相交于P、Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，求實數m的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）m＝3

【解析】

(1)將圓的方程配方，

得2＋(y－3)2＝，

故有＞0，解得m＜.

將直線l的方程與圓C的方程組成方程組，得

消去y，得x2＋2＋x－6×＋m＝0，

整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0， ①

∵直線l與圓C沒有公共點，∴方程①無解，故有Δ＝102－4×5(4m－27)＜0，解得m＞8.∴m的取值范圍是.

(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由OP⊥OQ，得＝0，即x1x2＋y1y2＝0， ②

由①及根與系數的關系，得

x1＋x2＝－2，x1·x2＝， ③

又∵P、Q在直線x＋2y－3＝0上，

∴y1·y2＝·＝[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，

將③代入上式，得y1·y2＝， ④

將③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝＋＝0，解得m＝3.

代入方程①檢驗得Δ＞0成立，∴m＝3.