Question

已知橢圓C的左，右焦點坐標分別為,離心率是。橢圓C的左，右頂點分別記為A,B。點S是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點。
（1）      求橢圓C的方程；
（2）      求線段MN長度的最小值；
（3）      當線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：T到直線AS的距離等于.
試確定點T的個數。

Answer 1

 解（1）因為，且，所以
所以橢圓C的方程為         …………………………………………….3分
(2 ) 易知橢圓C的左，右頂點坐標為,直線AS的斜率顯然存在，且
故可設直線AS的方程為，從而
由得
設，則，得
從而，即
又,故直線BS的方程為
由得，所以
故
又，所以
當且僅當時，即時等號成立
所以時，線段MN的長度取最小值        ………………………………..9分
（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，
此時AS的方程為，,
因為點T到直線AS的距離等于，
所以點T在平行于AS且與AS距離等于的直線上
設，則由，解得
① 當時，由得
由于，故直線與橢圓C有兩個不同交點
②時，由得
由于，故直線與橢圓C沒有交點
綜上所求點T的個數是2.                ……………………………………………..14分

略