Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若在點(diǎn)處的切線與軸平行，且在區(qū)間上存在最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時，求不等式恒成立時的最小整數(shù)值.

Answer 1

【答案】（1）（2）的最小整數(shù)值為.

【解析】

試題（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得.再根據(jù)的正負(fù)討論導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)性，進(jìn)而確定最值取法（2）根據(jù)變量分類法得最大值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大值，其中，因此化簡得，最后根據(jù)基本不等式求得最大值，再根據(jù)得的最小整數(shù)值為.

試題解析：解：（Ⅰ） .

∵在點(diǎn)處的切線與軸平行，∴，∴.

因此，

當(dāng)時，在區(qū)間上為正，在區(qū)間上為負(fù)，因此在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，即函數(shù)在處取得唯一的極大值，即為最大值；

當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即函數(shù)有最小值，無最大值.

因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，在區(qū)間上為減函數(shù)，

又，，

因此存在唯一實(shí)數(shù)，使，

由此得到，；

此時在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，

由單調(diào)性知 ，

又，故，

因此恒成立時，即的最小整數(shù)值為.