Question

已知x=1是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）ex（a≠-4）的一個(gè)極值點(diǎn)（e是自然對(duì)數(shù)底數(shù)）．
（I）當(dāng)a＞-4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（用a表示）；
（II）若函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上沒(méi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為0得到a，b的關(guān)系，代入導(dǎo)函數(shù)中求出導(dǎo)函數(shù)的兩根，利用a＞-4，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=[x²+（2+a）x+（a+b）]e^x，
∵x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f'（1）=0，
即e[1+（2+a）+（a+b）]=0，解得b=-3-2a，
則f′（x）=e^x[x²+（2+a）x+（-3-a）]=e^x（x-1）[x+（3+a）]
令f′（x）=0，得x₁=1或x₂=-3-a，
當(dāng)a＞-4即-3-a＜1時(shí)，由f′（x）＞0得x∈（1，+∞）或x∈（-∞，-3-a）；由f′（x）＜0得x∈（-3-a，1），
∴當(dāng)a＞-4時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3-a）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-3-a，1）；
（II）當(dāng)-3-a≥0，即a≤-3時(shí)，f（0）=-（2a+3）≥3＞0，f（1）=-（a+2）e≥e＞0
∵f（x）在[0，-a-3）遞增，在（-a-3，1）遞減
∴函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上沒(méi)有零點(diǎn)，
當(dāng)-3-a＜0，即a＞-3時(shí)，∵f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減
∴若函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上沒(méi)有零點(diǎn)，則

f(0)=-(2a+3)≥0 f(1)=-(a+2)e≥0

或

f(0)=-(2a+3)≤0 f(1)=-(a+2)e≤0

∴a的取值范圍是-3＜a≤-2或a≥-

3

2

．
綜上，a的取值范圍是a≤-2或a≥-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．