Question

已知x=1是函數(shù)f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一個極值點，其中m，n∈R，m≠0
（1）求m與n的關(guān)系式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)函數(shù)g（x）=

1

e

x²ge^x-

1

3

x³-x²，φ（x）=

2

3

x³-x²；試比較g（x）與φ（x）的大小．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因為x=1是函數(shù)的極值點，所以得到f'（1）=0求出m與n的關(guān)系式；
（2）令f′（x）=0求出函數(shù)的極值點，討論函數(shù)的增減性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）構(gòu)造函數(shù)h（x）=）=（

1

e

x²ge^x-

1

3

x³-x²）-（

2

3

x³-x²）=x²g（e^x-1-x），求導數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n．
因為x=1是f（x）的一個極值點，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6；…（3分）
（2）由（1）知，f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+

2

m

）]…（5分）
當m＜0時，有1＞1+

2

m

，當x變化時，f（x）與f'（x）的變化如下表：

由上表知，當m＜0時，f（x）在（-∞，1+

2

m

）單調(diào)遞減，在（1+

2

m

，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減
同理可得：當m＞0時，f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增，在（1，1+

2

m

）單調(diào)遞減，在（1+

2

m

，+∞）上單調(diào)遞增．…（9分）
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=）=（

1

e

x²ge^x-

1

3

x³-x²）-（

2

3

x³-x²）=x²g（e^x-1-x）
由x²≥0，且（e^x-1-x）′=e^x-1-1，故x≥1，（e^x-1-x）′=e^x-1-1≥0
令m（x）=e^x-1-x，所以m（x）在x≥1為增函數(shù)，故m（x）≥m（1）≥0
所以h（x）在[1，+∞），h（x）≥0，故g（x）≥φ（x）
當x＜1，（e^x-1-x）′=e^x-1-1＜0
令m（x）=e^x-1-x，所以m（x）在x＜1為減函數(shù)，故m（x）＜m（1）＜0
所以h（x）在[1，+∞），h（x）＜0，故g（x）＜φ（x）
綜上，x≥1時，g（x）≥φ（x），x＜1時，g（x）＜φ（x） …（14分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)極值和單調(diào)性的能力，考查構(gòu)造函數(shù)比較大小，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．