Question

18、已知x=1是函數f（x）=x³-ax（a為參數）的一個極值點．
（1）求a的值；
（2）求x∈[0，2]時，函數f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由題設條件，可求出函數的導數，利用f'（1）=0建立方程求出a的值；
（2）得用導數研究出函數在x∈[0，2]上的單調性確定出最值取到的位置，解出其值即可

解答：解：（1）由已知f'（x）=3x²-a，…（2分）
因為x=1是函數f（x）的一個極值點，所以f'（1）=0．
所以a=3．…（4分）
（2）解f'（x）=3x²-3＞0，得x＞1或x＜-1，
所以，（-∞，-1），（1，+∞）是函數f（x）的遞增區間；（-1，1）函數f（x）的遞減區間．…（8分）
所以，x∈[0，2]時，函數f（x）的最小值為f（1）=-2；…（10分）
又f（0）=0，f（2）=2，所以x∈[0，2]時，函數f（x）的最大值為f（2）=2．…（12分）
所以，x∈[0，2]時，函數f（x）的最大值與最小值分別為2和-2．

點評：本題考查利用導數求閉區間上的最值，解題的關鍵是理解并能熟練運用導數確定出函數最值的位置，利用導數法研究函數的最值是導數的重要運用，作為求最值的重要工具，掌握求導的方法可以使得解此類題順利．