Question

數列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=a，a_n+1是函數fn(x)=

1

3

x3-

1

2

(3an+n2)x2+3n2anx的極小值點．若數列{a_n}是等比數列，則a的取值范圍是

 

Answer 1

分析：先對函數f_n（x）進行求導，令導函數等于0求出x的值，然后根據函數的單調性與其導函數的正負之間的關系判斷函數f_n（x）的單調性進而得到極值點，若對任意的n，都有3a_n＞n²，則a_n+1=3a_n．可得到數列{a_n}的通項公式，而要使3a_n＞n²，即a•3ⁿ＞n²對一切n∈N^*都成立，只需a＞

n2

3n

對一切n∈N^*都成立．然后記b=

n2

3n

，則可分別求得b₁，b₂，b₃，再令y=

x2

3x

后求導判斷在[2，+∝）上的單調性，求出數列{b_n}的最大項，然后根據a的不同范圍判斷數列{a_n}是否是等比數列，進而得到答案．

解答：解：易知f′_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）．令f′_n（x）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．
①若3a_n＜n²，則當x＜3a_n時，f′_n（x）＞0，f_n（x）單調遞增；當3a_n＜x＜n²時，f′_n（x）＜0，f_n（x）單調遞減；當x＞n²時，f′_n（x）＞0，f_n（x）單調遞增．故f_n（x）在x=n²取得極小值．
②若3a_n＞n²，仿①可得，f_n（x）在x=3a_n取得極小值．
③若3a_n=n²，則f′_n（x）≥0，f_n（x）無極值．
若對任意的n，都有3a_n＞n²，則a_n+1=3a_n．即數列{a_n}是首項為a，公比為3的等比數列，且a_n=a•3^n-3．
而要使3a_n＞n²，即a•3ⁿ＞n²對一切n∈N^*都成立，只需a＞

n2

3n

對一切n∈N^*都成立．
記bn=

n2

3n

，則b1=

1

3

，b2=

4

9

，b3=

1

3

，.
令y=

x2

3x

，則y′=

1

3x

(2x-x2ln3)＜

1

3x

(2x-x2)．
因此，當x≥2時，y'＜0，從而函數y=

x2

3x

在[2，+∝）上單調遞減，
故當n≥2，數列{b_n}單調遞減，即數列{b_n}中最大項為b₂=

4

9

，于是當a＞

4

9

是，必有a＞

n2

3n

，
這說明當a∈（

4

9

，+∞）時，數列{a_n}是等比數列．
當a=

4

9

，可得a₁=

4

9

，a₂=

4

3

，而3a₂=4=2²，又③知，f₂（x）無極值，不合題意．
當

1

3

＜a＜

4

9

時，可得a₁=a，a₂=3a，a₃=4，a₄=12…，數列{a_n}不是等比數列．
當a=

1

3

時，3a=1=1²，由（3）知，f₁（x）無極值，不合題意．
當a＜

1

3

時，可得a₁=a，a₂=1，a₃=4，a₄=12，，數列{a_n}不是等比數列．
綜上所述，存在a，使數列{a_n}是等比數列，且a的取值范圍為(

4

9

，+∞)．

點評：本題主要考查了等比數列的性質、函數的單調性與其導函數的正負之間的關系、函數極值．考查學生的綜合運算能力．