Question

已知點P_n（a_n，b_n）都在直線l：y=2x+2上，P₁為直線l與x軸的交點，數列{a_n}成等差數列，公差為1（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若f（n）=

an(n=2m+1) bn(n=2m)

（m∈Z），問是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求證：

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）先求得P₁，從而得a₁，b₁，根據等差數列的通項公式可求得a_n，由點P_n（a_n，b_n）都在直線l：y=2x+2上可求得b_n；
（Ⅱ）假設存在符合條件的k，分k為偶數，k為奇數兩種情況討論：由f（n）表達式可分別求得f（k+5），f（k），解出方程f（k+5）=2f（k）-2即可作出判斷；
（Ⅲ）由P_n（n-2，2n-2），得|P₁P_n|=

5

（n-1）（n≥2），代入不等式左邊并進行放縮，利用裂項相消法可化簡，由化簡結果可得結論；

解答：解：（I）由題意得P₁（-1，0），故a₁=-1，b₁=0，
又{a_n}成等差數列，公差為1，所以a_n=-1+（n-1）×1=n-2，
由點P_n（a_n，b_n）都在直線l：y=2x+2上，所以b_n=2a_n+2=2（n-2）+2=2n-2；
（II）f（n）=

an，(n=2m+1) bn，(n=2m)

(m∈Z)，假設存在符合條件的k，
①若k為偶數，則k+5為奇數，有f（k+5）=k+3，f（k）=2k-2，
如果f（k+5）=2f（k）-2，則k+3=4k-6⇒k=3與k為偶數矛盾．
②若k為奇數，則k+5為偶數，有f（k+5）=2k+8，f（k）=k-2，
如果f（k+5）=2f（k）-2，則2k+8=2k-6，這樣的k也不存在．
故不存在符合條件的k．
（III）∵P_n（n-2，2n-2），∴|P₁P_n|=

5

（n-1）（n≥2），
∴

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

=

1

5

[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

]＜

1

5

[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-2)(n-1)

]=

1

5

[1+1-

1

n-1

]＜

2

5

．

點評：本題考查數列與不等式的綜合、等差等比數列的性質、數列求和等知識，考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力，本題綜合性強，難度較高．