Question

（2013•湛江一模）已知函數f（x）=e^x-1，g(x)=

x

+x，其中e是自然對數的底，e=2.71828…．
（1）證明：函數h（x）=f（x）-g（x）在區間（1，2）上有零點；
（2）求方程f（x）=g（x）根的個數，并說明理由；
（3）若數列{a_n}（n∈N*）滿足a₁=a（a＞0）（a為常數），a_n+1³=g（a_n），證明：存在常數M，使得對于任意n∈N*，都有a_n≤M．

Answer 1

分析：（1）直接利用零點存在定理證明函數h（x）=f（x）-g（x）在區間（1，2）上有零點即可；
（2）通過方程f（x）=g（x）構造函數h（x）=e^x-1-

x

-x，利用函數的導數以及函數的單調性，結合零點存在定理說明方程根的個數；
（3）直接利用數學歸納法的證明步驟，證明存在常數M=max{x₀，a}，使得對于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

解答：解：（1）證明：由h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-

x

-x，得：
h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2-

2

＞0，
所以函數h（x）在區間（1，2）上有零點．
（2）由（1）得：h（x）=e^x-1-

x

-x，
由g(x)=

x

+x知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，則x=0為h（x）的一個零點，且h（x）在（1，2）內有零點，
因此h（x）至少有兩個零點．
所以h′(x)=ex-

1

2

x-

1

2

-1，記φ（x）=ex-

1

2

x-

1

2

-1，則φ′(x)=ex+

1

4

x-

3

2

．
當x∈（0，+∞）時，φ'（x）＞0，因此φ（x）在（0，+∞）上單調遞增，則φ（x）在（0，+∞）內至多只有一個零點．h（x）有且只有兩個零點．
所以，方程f（x）=g（x）根的個數為2．
（3）記h（x）的正零點為x₀，即ex0-1=x0+

x0

．
（1）當a＜x₀時，由a₁=a，即a₁＜x₀．而a23=a1+

a1

＜x0+

x0

=ex0-1，因此a₂＜x₀，由此猜測：a_n＜x₀．下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，a₁＜x₀顯然成立；
②假設當n=k（k≥1）時，有a_k＜x₀成立，則當n=k+1時，由ak+13=ak+

ak

＜x0+

x0

=ex0-1知，a_k+1＜x₀，因此，當n=k+1時，a_k+1＜x₀成立．
故對任意的n∈N^*，a_n＜x₀成立．
（2）當a≥x₀時，由（1）知，h（x）在（x₀，+∞）上單調遞增．則h（a）≥h（x₀）=0，即a3≥a+

a

．從而a23=a1+

a1

=a+

a

≤a3，即a₂≤a，由此猜測：a_n≤a．下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，a₁≤a顯然成立；
②假設當n=k（k≥1）時，有a_k≤a成立，則當n=k+1時，由ak+13=ak+

ak

≤a+

a

≤a3知，a_k+1≤a，因此，當n=k+1時，a_k+1≤a成立．
故對任意的n∈N^*，a_n≤a成立．
綜上所述，存在常數M=max{x₀，a}，使得對于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

點評：本題考查函數的零點存在定理的應用，數學歸納法的證明方法以及函數的導數的應用，考查分析問題解決問題的能力．