Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點，為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）先在中運用等邊三角形的性質得，再在中利用勾股定理的逆定理得，最后利用線面垂直的判定定理證明即可；

（2）以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（1）由題意，是邊長為2的等邊三角形，

因為為的中點，所以，且．

如圖（1）所示，連接，因為是斜邊長為2的等腰直角三角形，所以．

在中，，可得，所以，

又因為，平面平面，所以平面．

（2）由（1）可知平面，且，

分別以所在的直線為軸建立如圖（2）所示的空間直角坐標系，

則，，

可得，，

設平面的法向量為，則 ，即，

取，則，所以為平面的一個法向量，

設與平面所成的角為，則，

故直線與平面所成角的正弦值為．