Question

已知α、β∈（0，

π

2

），且α+β＞

π

2

，f(x)=(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x．
求證：對于x＞0，有f（x）＜2．

Answer 1

分析：通過y=sinx，在(0，

π

2

)上為增函數，y=cosx在(0，

π

2

)上為減函數，利用sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，cosα＜cos(

π

2

-β)=sinβ，推出0＜

cosα

sinβ

 ＜ 1，0＜

cosβ

sinα

 ＜1，得到結果．

解答：證明：∵α+β＞

π

2

，∴α＞

π

2

-β；∵α、β∈（0，

π

2

），

π

2

-β∈(0，

π

2

)；
因為y=sinx，在(0，

π

2

)上為增函數，
y=cosx在(0，

π

2

)上為減函數，
sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，cosα＜cos(

π

2

-β)=sinβ，
又sinα＞0，sinβ＞0，∴0＜

cosα

sinβ

 ＜ 1，0＜

cosβ

sinα

 ＜1，
∵y=a^x，（0＜a＜1）在R上為減函數，且x＞0，∴(

cosα

sinβ

)x＜ 1，(

cosβ

sinα

)x＜1，
從而f(x)=(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x＜2

點評：本題考查三角函數的單調性，誘導公式的應用，考查邏輯推理能力．