Question

如圖所示，已知P（4，0）是圓x²+y²=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，設(shè)R的坐標(biāo)為（x₁，y₁），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|² =36-（x12 +y12），再由|AR|=|PR|=

(x1-4)2+y12

，由此得到點(diǎn)R的軌跡方程 x12 +y12-4x₁-10=0①，設(shè)Q（x，y），因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，可得x₁=

x+4

2

，y1=

y+0

2

，代入①化簡即得所求．

解答：解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，則R也是PQ的中點(diǎn)，設(shè)R的坐標(biāo)為（x₁，y₁），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|．
又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-（x12 +y12）．
又|AR|=|PR|=

(x1-4)2+y12

，所以有（x₁-4）²+y12=36-（x12 +y12），即 x12 +y12-4x₁-10=0．
因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)Q（x，y），因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x₁=

x+4

2

，y1=

y+0

2

，
代入方程 x12 +y12-4x₁-10=0，得(

x+4

2

)2+(

y

2

)2-4•

x+4

2

-10=0，
整理得：x²+y²=56，這就是所求的Q點(diǎn)的軌跡方程．

點(diǎn)評：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程，利用平面幾何的基本知識和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段AB中點(diǎn)R的軌跡方程．欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題，屬于難題．