Question

已知實數(shù)a，b滿足-1≤a≤1，-1≤b≤1，則函數(shù)y=

1

3

x³-ax²+bx+5有極值的概率（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．

  2

  3

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出函數(shù)y=

1

3

x³-ax²+bx+5有極值對應的可行域面積的大小和實數(shù)a，b滿足-1≤a≤1，-1≤b≤1對應的圖形面積的大小．

解答：解：∵函數(shù)y=

1

3

x³-ax²+bx+5有極值
∴y′=x²-2ax+b，存在零點，
即x²-2ax+b=0有實數(shù)解，其充要條件是△=4a²-4b≥0．
即 a²≥b．
如圖所示，區(qū)域-1≤a≤1，-1≤b≤1的面積（圖中正方形所示）為4
2∫₀¹（1-x²）dx=2×（x-

1

3

x2）|₀¹=

4

3

，
而區(qū)域a²≥b，
在條件-1≤a≤1，-1≤b≤1下的面積（圖中陰影所示）為：
2+2∫₀¹x²dx=2+2×（

1

3

x2）|₀¹=2+

2

3

=

8

3

．
所求概率為

8 3

4

=

2

3

．
故選C．

點評：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、含面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應的“幾何度量”N，最后根據(jù)公式求解．