Question

如圖所示，△ABC中，已知頂點A（3，-1），∠B的內角平分線方程是x-4y+10=0過點C的中線方程為6x+10y-59=0．求頂點B的坐標和直線BC的方程．

Answer 1

分析：先設點B的坐標（a，b），根據∠B的內角平分線方程是x-4y+10=0得到關于a，b的一個方程，再結合AB中點（

a+3

2

，

b-1

2

）在過點C的中線上，即可求出點B的坐標，最后結合夾角公式求出直線BC的斜率即可求直線BC的方程．

解答：解：設B（a，b），由過點B的角平分線方程x-4y+10=0得
a-4b+10=0，①…（2分）
又AB中點（

a+3

2

，

b-1

2

）在過點C的中線上，
6×（

a+3

2

）+10×

b-1

2

=59，②
由①②可得a=10，b=5，
∴B點坐標為（10，5）…（5分）
則直線AB的斜率K_AB=

5-(-1)

10-3

=

6

7

又∠B的內角平分線的斜率k=

1

4

…（6分）
所以得

k- kAB

1+k•KAB

=

KBC-K

1+k BC•k

⇒

1 4 - 6 7

1+ 1 4 × 6 7

=

KBC- 1 4

1+ 1 4 •KBC

解得K_BC=-

2

9

…（10分）
∴直線BC的方程為y-5=-

2

9

（x-10）⇒2x+9y-65=0
綜上，所求點B的坐標為（10，5），
直線BC的方程為    2x+9y-65=0…（12分）

點評：本題主要考查兩直線的夾角與到角問題．解決本題的關鍵在于根據夾角與到角公式求出直線BC的斜率．