Question

如圖所示，正方體的棱長為1，M、N分別是面對角線、上的點，且．

    （1）求證：MN∥面；

    （2）求證：MN⊥AD；

    （3）當為何值時，MN取得最小值？并求出這個最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：過M作，垂足為R，則平面ABCD．連接RN，則，過M、N分別作垂足分別為Q、P．因為，所以，故MNPQ為平行四邊形．所以從而．     平面．  (2)∵，∴由三垂線定理知．  (3)∵．．     ∴當時，．

提示：

(1)證明線面平行有兩種基本方法，方法一：利用線面平行的判定定理；方法二：利用面面平行的性質．(2)要證，由(1)只須用三垂線定理即可．(3)幾何最值問題常分兩步，第一步求出目標解式：第二步根據目標解析式的結構特征求出最值．