Question

設(shè)f（x）=ln（1+x）-x-ax²．
（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取到極值，求a的值；
（2）當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，f（x）在區(qū)間[-

1

2

，-

1

3

]上有單調(diào)遞增的區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取到極值，即f′（1）=0，解得a的值；
（2）f（x）在區(qū)間[-

1

2

，-

1

3

]上有單調(diào)遞增的區(qū)間，即f′（x）＞0時(shí)在[-

1

2

，-

1

3

]上有解，解含參數(shù)的不等式．

解答：解：（1）由題意知f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
且f′（x）=

1

1+x

-1-2ax=

-2ax2-(2a+1)x

1+x

，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取到極值，∴f′（1）=0，解得a=-

1

4

；
當(dāng)a=-

1

4

時(shí)，f′（x）=

x2-x

x+1

在（0，1）上小于0，f（x）是減函數(shù)，
f′（x）=

x2-x

x+1

在（1，+∞）上大于0，f（x）是增函數(shù)，
∴f（1）是函數(shù)的極小值，∴a的值為-

1

4

；
（2）要使f（x）在區(qū)間[-

1

2

，-

1

3

]上有單調(diào)遞增的區(qū)間，
即f′（x）＞0在[-

1

2

，-

1

3

]上有解，∴2ax+（2a+1）＞0；
（i）當(dāng)a=0是，有1＞0，上述不等式恒成立，∴a=0滿足條件；
（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，有x＞-

2a+1

2a

，此時(shí)只要-

2a+1

2a

＜-

1

3

，解得：a＞-

3

4

，∴取a＞0；
（iii）當(dāng)a＜0時(shí)，有x＜-

2a+1

2a

，此時(shí)只要-

2a+1

2a

＞-

1

2

，解得：a＞-1，∴取-1＜a＜0；
綜上，a滿足的條件是：a∈（-1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值問(wèn)題，也考查了含參數(shù)的不等式的解法問(wèn)題．