Question

對于函數f（x）和g（x），若存在常數k，m，對于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，則稱直線y=kx+m是函數f（x），g（x）的分界線．已知函數f（x）=e^x（ax+1）（e為自然對數的底，a∈R為常數）．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）設f（x）=ln（1+x）-mx，試探究函數f（x）與函數（0，+∞）是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax+1+a），當a＞0時，f′（x）＞0?函數f（x）在區間（-1-，+∞）上是增函數，在區間（-∞，-1-）上是減函數；a=0時，f′（x）＞0，函數f（x）是區間（-∞，+∞）上的增函數；當a＜0時，f′（x）＞0?ax＞-a-1，函數f（x）在區間（-∞，-1-）上是增函數，在區間（-1-，+∞）上是減函數．
（Ⅱ）若存在，則e^x（x+1）≥kx+m≥-x²+2x+1恒成立，令x=0，得m=1，因此x²+（k-2）x≥0恒成立，由此及彼能推導出函數f（x）與函數g（x）=-x²+2x+1存在“分界線”．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax+1+a），（2分）
當a＞0時，f′（x）＞0?ax＞-a-1，即x＞-1-，
函數f（x）在區間（-1-，+∞）上是增函數，
在區間（-∞，-1-）上是減函數；（3分）
當a=0時，f′（x）＞0，函數f（x）是區間（-∞，+∞）上的增函數；（5分）
當a＜0時，f′（x）＞0?ax＞-a-1，即x＜-1-，
函數f（x）在區間（-∞，-1-）上是增函數，在區間（-1-，+∞）上是減函數．（7分）
（Ⅱ）若存在，則e^x（x+1）≥kx+m≥-x²+2x+1恒成立，
令x=0，則1≥m≥1，
所以m=1，（9分）
因此：kx+1≥-x²+2x+1恒成立，即x²+（k-2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，
現在只要判斷e^x（x+1）≥2x+1是否恒成立，（11分）
設∅（x）=e^x（x+1）-（2x+1），
因為：∅′（x）=e^x（x+2）-2，
當x＞0時，e^x＞1，x+2＞2，∅′（x）＞0，
當x＜0時，e^x（x+2）＜2e^x＜2，∅′（x）＜0，
所以∅（x）≥∅（0）=0，即e^x（x+1）≥2x+1恒成立，
所以函數f（x）與函數g（x）=-x²+2x+1存在“分界線”．（14分）
點評：本題考查導數在函數單調性中的運用，解題時要注意導數公式的靈活運用，合理地運用導數的性質解題．