Question

求證:雙曲線xy=a²在任一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積等于常數.

Answer 1

解析：要求切線與兩坐標軸圍成的三角形面積是定值,只要先求出切線方程,再證明三角形的面積是定值即可.

答案：雙曲線方程即為y=,?

設(x₀,y₀)是雙曲線y=上任一點,y′|_x=x0=,?

∴曲線在(x₀,y₀)處的切線方程為y-y₀=(x-x₀).?

令x=0,得切線在y軸上的截距為,?

故切線與y軸的交點為A(0, ),?

再令y=0,得切線與x軸的交點為B(2x₀,0),?

∴切線與兩坐標軸圍成的三角形面積等于S_△OAB  ==2a²是常數.