Question

設雙曲線xy=1的兩支為C₁，C₂（如圖），正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上．
（1）求證：P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上；
（2）設P（-1，-1）在C₂上，Q、R在C₁上，求頂點Q、R的坐標．

Answer 1

分析：（1）設某個正三角形的三個頂點都在同一支上，此三點坐標為P（x1，

1

x1

），O（x2，

1

x2

），R（x3，

1

x3

），則

1

x1

＞

1

x2

＞

1

x3

＞0，由此導出tan∠POR＜0，從而∠POR為鈍角，即△POR不可能是正三角形．
（2）P（-1，-1），設O（x2，

1

x2

），點P在直線y=x上，以P為圓心，|PO|為半徑作圓，此圓與雙曲線第一象限內的另一交點R滿足|PO|=|PR|，由圓與雙曲線都與y=x對稱，知O與R關于y=x對稱，且在第一象限內此兩條曲線沒有其他交點（二曲線的交點個數），于是R（

1

x2

，x₂），由此能夠求出頂點Q、R的坐標．

解答：（1）證明：設某個正三角形的三個頂點都在同一支上，
此三點坐標為P（x1，

1

x1

），O（x2，

1

x2

），R（x3，

1

x3

），
則

1

x1

＞

1

x2

＞

1

x3

＞0，
k_PO=

1 x2 - 1 x1

x2-x1

=-

1

x1x2

，k_PR=

1 x3 - 1 x1

x3-x1

=-

1

x2x3

，
tan∠POR=

- 1 x1x2 + 1 x2x3

1+ 1 x1x3x22

＜0，
從而∠POR為鈍角，即△POR不可能是正三角形．
所以P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上．
（2）解：P（-1，-1），設O（x2，

1

x2

），點P在直線y=x上，
以P為圓心，|PO|為半徑作圓，
此圓與雙曲線第一象限內的另一交點R滿足|PO|=|PR|，
由圓與雙曲線都與y=x對稱，
知O與R關于y=x對稱，
且在第一象限內此兩條曲線沒有其他交點（二曲線的交點個數），
于是R（

1

x2

，x₂），
∴PO與y=x的夾角等于30°，PO所在直線的傾斜角等于75°，
tan75°=

1+ 3 3

1- 3 3

=2+

3

．
PO所在的直線方程為y+1=（2+

3

）（x+1），
代入xy=1，
解得O（2-

3

，2+

3

），于是R（2+

3

，2-

3

）．

點評：本題考查三點不能都在雙曲線的同一支上的證明，考查雙曲線頂點坐標的求法，難度大，綜合性強，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．