Question

若0＜a，b，c＜1滿足條件ab+bc+ac=1，則

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

的最小值是（　　）

• A．

  9+3 3

  2

• B．

  9-3 3

  2

• C．

  3 3 -9

  2

• D．3

Answer 1

分析：利用基本不等式，先確定a+b+c≥

3

，再用柯西不等式求

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

的最小值．

解答：解：∵0＜a，b，c＜1滿足條件ab+bc+ac=1，
∴（a+b+c）²≥3（ab+ac+bc）=3
∴a+b+c≥

3

∵(

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

)(1-a+1-b+1-c)≥(1+1+1)2
∴

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

≥

9

3-(a+b+c)

≥

9

3- 3

=

9+3 3

2

當且僅當a=b=c=

3

3

時，

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

的最小值為

9+3 3

2

故選A．

點評：柯西不等式的特點：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當欲證不等式的一邊視為“積和結構”或“平方和結構”，再結合不等式另一邊的結構特點去嘗試構造．