Question

設函數f（x）=，其中向量=（cos，sin） （x∈R），向量=（cosϕ，sinϕ）（|ϕ|＜），f（x）的圖象關于直線x=對稱．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）若函數y=1+sin的圖象按向量=（m，n） （|m|＜π）平移可得到函數y=f（x）的圖象，求向量．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過向量的數量積，求出函數的關系式，利用對稱軸直接求出ϕ的值；
（Ⅱ）若函數y=1+sin的圖象按向量=（m，n） （|m|＜π）平移，求出函數的解析式，利用與函數y=f（x）的圖象相同，求向量．另解：通過函數y=f（x）逆向推出函數，使得與函數y=1+sin的圖象相同，求出向量．
解答：解：（Ⅰ）f（x）==coscosϕ+sinsinϕ=cos（-ϕ），
∵f（x）的圖象關于直線x=對稱，
∴，
∴，k∈Z，又|ϕ|＜，∴ϕ=．
（Ⅱ）f（x）=cos（-）=sin（+）=sin（x+），
由y=1+sin平移到y=sin（x+），只需向左平移單位，
再向下平移1個單位，考慮到函數的周期為π，且=（m，n） （|m|＜π），
∴，n=-1，即=（-，-1）．
另解：f（x）=cos（-）=sin（+）=sin（x+），
由平移到，只要即，
∴=（-，-1）．
點評：本題是一道三角函數與平面向量相結合的綜合問題，既考查了三角函數的變形以及三角函數的圖象與性質，又考查了運用平面向量進行圖象平移的知識．