Question

A，B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A，B兩城供電．為保證城市安全，核電站距城市距離不得少于45km．已知供電費用（元）與供電距離（km）的平方和供電量（億度）之積成正比，比例系數λ=0.2，若A城供電量為30億度/月，B城為20億度/月．
（Ⅰ）把月供電總費用y表示成x的函數，并求定義域；
（Ⅱ）核電站建在距A城多遠，才能使供電費用最小，最小費用是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得到每月給A城供電的費用和每月給B城供電的費用，求和可得月供電總費用，由核電站到兩城的距離不小于45km得到函數定義域；
（Ⅱ）利用配方法求函數的最小值．

解答：解：（Ⅰ）每月給A城供電的費用為0.2×30×x²，每月給B城供電的費用為0.2×20×（100-x）²，
∴月供電總費用y=0.2×30×x²+0.2×20×（100-x）²．
即y=10x²-800x+40000．
由

x≥45 100-x≥45

，得45≤x≤55．
∴函數解析式為 y=10x²-800x+40000，定義域為[45，55]；
（Ⅱ）由y=10x²-800x+40000，得y=10（x-40）²+24000，
∵x∈[45，55]，∴y在[45，55]上單調遞增，
∴當x=45時，ymin=10(45-40)2+24000=24250．
故當核電站建在距A城45km時，才能使供電費用最小，最小費用為24250元．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了簡單的數學建模思想方法，訓練了分段函數解析式的求法，分段函數的最值得求法，分段函數的最值要分段求，是中檔題．