Question

已知x、y滿足不等式組

x-y≥-2 x+2y≥-2 2x+y≤2

，若O為坐標原點，M（x，y），N（1，-2），則

OM

•

ON

的最小值是

-4

．

Answer 1

分析：由不等式組畫出可行域，再由給出的兩個點的坐標寫出

OM

•

ON

的表達式，利用線性規劃知識求線性目標函數的最小值．

解答：解：由不等式組

x-y≥-2 x+2y≥-2 2x+y≤2

得可行域為△ABC的邊界及其內部，如圖，

由x-y=-2，2x+y=2解得A（0，2）．
由x-y=-2，x+2y=-2解得B（-2，0）．
由x+2y=-2，2x+y=2解得C（2，-2）．
∵M（x，y），N（1，-2），∴

OM

=（x，y），

ON

=（1，-2）．
則

OM

•

ON

=x-2y．
令z=

OM

•

ON

=x-2y，則y=

1

2

x-

1

2

z，
要使z最小，則直線y=

1

2

x-

1

2

z在y軸上的截距最大．
由可行域可知，當直線y=

1

2

x-

1

2

z過點A（0，2）時截距最大，
所以z的最小值為0-2×2=-4．
即

OM

•

ON

的最小值是-4．
故答案為-4．

點評：本題考查了平面向量數量積的運算，考查了數學轉化思想，訓練了線性目標函數最值的求法，解答此類問題，最好的方法是把線性目標函數轉化為直線方程的斜截式，把求目標函數的最值問題轉化為求直線在y軸上的截距最大或最小問題．是中檔題．