Question

有一批大小相同的呈正方體型的物件，按照上面少，下面多的方式，堆放于倉庫的墻角處．從上至下，第一層放1件，第二層放3件，第三層放6件…，各層放置的平面圖形如下：
如果這堆物件一共堆放了10層，則第10層放有

55

件這樣的物件；這一堆共有

220

件這樣的物件．

Answer 1

分析：設各層物件數構成數列{a_n}，由題可知a_n-a _n-1=n（n≥2）且a₁=1．利用累加法求出通項公式a_n=

1

2

（n²+n），a₁₀=可求．再利用分組求和法求和即可．

解答：解：設各層物件數構成數列{a_n}，由題可知a_n-a _n-1=n（n≥2）且a₁=1．
所以a₂-a₁=2
a₃-a₂=3
…
a_n-a _n-1=n （n≥2）
以上各式兩邊分別相加得
a_n-a₁=2+3+…+n
∴a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

=

1

2

（n²+n）（n≥2），且a₁=1也適合．
∴a₁₀=55
S₁₀=

1

2

（1²+2²+…+10²）+

1

2

(1+2+…+10)

=

1

2

×

10×11×21

6

+

1

2

×

11×10

2

=220．
故答案為：55   220．

點評：本題考查數列求和，用到了累加法求通項，分組、公式法求和．考查建模解模的能力．公式1²+2²+3²+…n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．