Question

5．如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（文）（1）求證：AC⊥BF；
（2）求證：BF⊥平面ACFD
（理）（1）求證：BF⊥平面ACFD
（2）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 文（1）過F作FG⊥BC，垂足為G，則FG⊥平面ABC，故FG⊥AC，結合AC⊥BC得出AC⊥平面BCFE，于是AC⊥BF；
（2）利用勾股定理計算BF，得出BF⊥FC，結合AC⊥BF得出BF⊥平面ACFD；
理（1）參考文（1），（2）即可；
（2）∠BDF為直線BD與平面ACFD所成角，在Rt△BDF中計算cos∠BDF．

解答 解：（文）（1）過F作FG⊥BC，垂足為G，
∵平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC=BC，FG⊥BC，FG?平面BCFE，
∴FG⊥平面ABC，又AC?平面ABC，
∴AC⊥FG，又AC⊥BC，BC?平面BCFE，FG?平面BCFE，BC∩FG=G，
∴AC⊥平面BCFE，又BF?平面BCFE，
∴AC⊥BF．
（2）∵四邊形BCFE是等腰梯形，BE=EF=FC=1，BC=2，
∴CG=$\frac{1}{2}$（BC-EF）=$\frac{1}{2}$，BG=$\frac{3}{2}$，FG=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BF=$\sqrt{B{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BF²+FC²=BC²，∴BF⊥FC，
又BF⊥AC，FC?平面ACFD，AC?平面ACFD，AC∩FC=C，
∴BF⊥平面ACFD．
（理）（1）同文（2），
（2）∵BF⊥平面ACFD，
∴∠BDF是直線BD與平面ACFD所成的角，
∵$\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$，∴DF=$\frac{3}{2}$，BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
∴cos∠BDF=$\frac{DF}{BD}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以直線BD與平面ACFD所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定定理，空間角的計算，屬于中檔題．