Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數在上的最小值；

（2）若對任意的恒成立．試求實數a的取值范圍；

（3）若時，求函數在上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）當時，利用基本不等式即可求得最小值；

（2）由題意可得在上恒成立，根據二次函數的圖象與性質求出的最大值即可得解；

（3）先證明在單調遞減，在單調遞增，對、兩種情況進行分類討論分析函數的單調性從而求出最值.

（1）當時，，

當時，，

當且僅當即時等號成立，

所以的最小值為2；

（2）根據題意可得在上恒成立，

等價于在上恒成立，

因為在上單調遞增，

在上單調遞減，所以，

所以；

（3），設，

，

，即，

在單調遞減，同理可證在單調遞增，

當時，，函數在上單調遞增，

；

當時，，函數在上單調遞減，

在上單調遞增，

.

所以.