Question

如圖，直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點，AA₁=AC=CB=

2

2

AB．
（Ⅰ）證明：BC₁∥平面A₁CD
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過證明BC₁平行平面A₁CD內的直線DF，利用直線與平面平行的判定定理證明BC₁∥平面A₁CD
（Ⅱ）證明DE⊥平面A₁DC，作出二面角D-A₁C-E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：連結AC₁交A₁C于點F，則F為AC₁的中點，
又D是AB中點，連結DF，則BC₁∥DF，
因為DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）因為直棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以AA₁⊥CD，
由已知AC=CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB，
又AA₁∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB₁A₁，
設AB=2

2

，則AA₁=AC=CB=2，得∠ACB=90°，
CD=

2

，A₁D=

6

，DE=

3

，A₁E=3
故A₁D²+DE²=A₁E²，即DE⊥A₁D，所以DE⊥平面A₁DC，
又A₁C=2

2

，過D作DF⊥A₁C于F，∠DFE為二面角D-A₁C-E的平面角，
在△A₁DC中，DF=

A1D•DC

A1C

=

6

2

，EF=

DE2+DF2

=

3 2

2

，
所以二面角D-A₁C-E的正弦值．sin∠DFE=

DE

EF

=

6

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力與計算能力．