Question

如圖，直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點，AA1=AC=CB=

2

2

AB=2．
（1）證明：DC⊥DE；
（2）求三棱錐C-A₁DE的體積．

Answer 1

分析：（1）由韋達定理可得△ABC為等腰直角三角形，進而可得CD⊥AB，結合直棱柱的特征可得CD⊥AA₁，結合線面垂直的判定定理可得CD⊥面A₁ABB₁，進而由線面垂直的定義可得DC⊥DE；
（2）由（1）可得CD⊥面A₁ABB₁，即CD為棱錐的高，求出三角形△A₁DE的面積后，代入棱錐的體積公式，可得三棱錐C-A₁DE的體積．

解答：證明：（1）由AC=CB=

2

2

AB，
AC²+CB²=AB²
故△ABC為等腰直角三角形
又由D是AB的中點，
知CD⊥AB，
又∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴CD⊥AA₁，
又∵AB，AA₁?面A₁ABB₁，AB∩AA₁=A
∴CD⊥面A₁ABB₁，
又∵DE?面A₁ABB₁，
故DC⊥DE；
（2）由（1）知CD⊥面A₁ABB₁，且CD=

2

在Rt△A₁AD中，AA₁=2，AD=

2

，
故A₁D=

6

在Rt△BDE中，BE=1，BD=

2

，
故DE=

3

Rt△A₁B₁E中，A₁B₁=2

2

，B₁E=1
故A₁E=3
∵A1E2=A1D2+DE2
故三角形△A₁DE為直角三角形
故VC-A1DE=

1

3

•CD•

1

2

•A1D•DE=

1

3

•

2

•

1

2

•

6

•

3

=1．

點評：本題考查的知識點是線面垂直的判定定理及性質，棱錐的體積，其中證明出直線CD⊥面A₁ABB₁，是解答的關鍵．