Question

16．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=3，F是PD的中點，E是線段AB上的點．
（1）當E是AB的中點時，求證：AF∥平面PEC．
（2）當AE：BE=2：1時，求二面角E-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC中點G，連結FG，EG，推導出四邊形AEGF是平行四邊形，從而AF∥EG，由此能證明AF∥平面PEC．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-PC-D的余弦值．

解答 證明：（1）取PC中點G，連結FG，EG，
∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，F是PD的中點，E是線段AB的中點，
∴FG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC，AE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC，∴FG$\underset{∥}{=}$AE，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，∴AF∥EG，
∵EG?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
  解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
由題意得E（2，0，0），P（0，0，1），C（3，1，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{PC}$=（3，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{PE}$=（2，0，-1），
設平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=3x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
設平面PCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=3a+b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=2a-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2），
設二面角E-PC-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴二面角E-PC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．