Question

已知公差為d(d＞1)的等差數列{a_n}和公比為q(q＞1)的等比數列{b_n}，滿足集合{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}＝{1,2,3,4,5}，

(1)求通項a_n，b_n；

(2)求數列{a_n·b_n}的前n項和S_n.

Answer 1

(1)∵1,2,3,4,5這5個數中成公差大于1的等差數列的三個數只能是1,3,5；成公比大于1的等比數列的三個數只能是1,2,4.

而{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}＝{1,2,3,4,5}，

∴a₃＝1，a₄＝3，a₅＝5，b₃＝1，b₄＝2，b₅＝4，

∴a₁＝－3，d＝2，b₁＝，q＝2，

∴a_n＝a₁＋(n－1)d＝2n－5，b_n＝b₁×q^n－1＝2^n－3.

(2)∵a_nb_n＝(2n－5)×2^n－3，

∴S_n＝(－3)×2^－2＋(－1)×2^－1＋1×2⁰＋…＋(2n－5)×2^n－3，

2S_n＝－3×2^－1＋(－1)×2⁰＋…＋(2n－7)×2^n－3＋(2n－5)×2^n－2，

兩式相減得－S_n＝(－3)×2^－2＋2×2^－1＋2×2⁰＋…＋2×2^n－3－(2n－5)×2^n－2＝－－1＋2^n－1－(2n－5)×2^n－2

∴S_n＝＋(2n－7)×2^n－2.