Question

已知公差為d的等差數列a_n，0＜a₁＜

π

2

，0＜d＜

π

2

，其前n項和為S_n，若sin（a₁+a₃）=sina₂，cos（a₃-a₁）=cosa₂．
（1）求數列a_n的通項公式；
（2）設bn=

Sn

(n+1)•2n-1

，求數列b_n的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的性質，得出sin（a₁+a₃）=sina₂然后進行化簡，要注意a₁、d的范圍求出a₁、d，進而得出通項公式．
（2）首先求出數列b_n的通項公式，然后利用Tn=T_n-

1

2

T_n求出結果．

解答：解：（1）∵sin（a₁+a₃）=sina₂，∴sin2a₂=2sina₂cosa₂=sina₂，∴sina₂（2cosa₂-1）=0，
∵0＜a₁＜

π

2

，0＜d＜

π

2

，∴0＜a₂＜π，∴sina₂≠0，∴cosa2=

1

2

，∴a2=

π

3

，
∵cos（a₃-a₁）=cosa₂，∴cos2d=cos

π

3

，∴d=

π

6

，∴a1=

π

6

，∴an=

π

6

+(n-1)•

π

6

=

nπ

6

，∴數列a_n的通項公式為an=

nπ

6

．
（2）∵Sn=

n(a1+an)

2

=

n(n+1)π

12

，∴bn=

Sn

(n+1)•2n-1

=

πn

6•2n

=

π

6

•

n

2n

，
∴Tn=

π

6

(

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+4•

1

24

++n•

1

2n

)①，

1

2

Tn=

π

6

[

1

22

+2•

1

23

+3•

1

24

+4•

1

25

++(n-1)•

1

2n

+n•

1

2n+1

]②，
①-②得

1

2

Tn=

π

6

(

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

++

1

2n

-n•

1

2n+1

)=

π 12 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

nπ

6

•

1

2n+1

=

π

6

(1-

1

2n

)-

nπ

6

•

1

2n+1

，
∴Tn=

π

3

-

(n+2)π

3•2n+1

．

點評：本題考查了等差數列的性質，通項公式的求法，對于等差數列與等比數列乘積形式的數列一般采取錯位相減的辦法求前n項和．