Question

拋物線x²=2y離點(diǎn)A（0，a）最近的點(diǎn)恰好是頂點(diǎn)，這個結(jié)論成立的充要條件是

1. A.
   a≤0
2. B.
   
3. C.
   a≤1
4. D.
   a≤2

Answer 1

C
分析：將拋物線上的點(diǎn)離點(diǎn)A的距離用兩點(diǎn)距離的平方表示出來，再研究二次函數(shù)的最值．
解答：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為拋物線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P離點(diǎn)A（0，a）的距離的平方為
AP²=x²+（y-a）²
=x²+y²-2ay+a²
∵x²=2y
∴AP²=2y+y²-2ay+a²（y≥0）
=y²+2（1-a）y+a²（y≥0）
∴對稱軸為a-1
∵離點(diǎn)A（0，a）最近的點(diǎn)恰好是頂點(diǎn)
∴a-1≤0解得a≤1
故選C．
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值的求法：弄清對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，在y=0時取到最小值，故函數(shù)在定義域內(nèi)遞增，對稱軸在區(qū)間左邊．