Question

拋物線x²=2y離點A（0，a）最近的點恰好是頂點，這個結論成立的充要條件是（　　）

• A、a≤0
• B、a≤

  1

  2

• C、a≤1
• D、a≤2

Answer 1

分析：將拋物線上的點離點A的距離用兩點距離的平方表示出來，再研究二次函數的最值．

解答：解：設點P（x，y）為拋物線上的任意一點，則點P離點A（0，a）的距離的平方為
AP²=x²+（y-a）²
=x²+y²-2ay+a²
∵x²=2y
∴AP²=2y+y²-2ay+a²（y≥0）
=y²+2（1-a）y+a²（y≥0）
∴對稱軸為a-1
∵離點A（0，a）最近的點恰好是頂點
∴a-1≤0解得a≤1
故選C．

點評：本題考查二次函數在給定區間的最值的求法：弄清對稱軸與區間的關系，在y=0時取到最小值，故函數在定義域內遞增，對稱軸在區間左邊．