Question

18．若存在兩個正實數x、y，使得等式x+m（y-2ex）（lnx-lny）=0成立，其中e為自然對數的底數，則實數m的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{e}$]∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 根據函數與方程的關系將方程進行轉化，利用換元法轉化為方程有解，構造函數求函數的導數，利用函數極值和單調性的關系進行求解即可．

解答 解：∵x+m（y-2ex）（lnx-lny）=0，
∴x+m（y-2ex）ln$\frac{x}{y}$=0，
即1+m（$\frac{y}{x}-2e$）ln$\frac{x}{y}$=0，
令$\frac{y}{x}=t$，則1-m（t-2e）lnt=0，
∴m=$\frac{1}{（t-2e）lnt}$，即$\frac{1}{m}$=（t-2e）lnt，
令f（t）=（t-2e）lnt，則f′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$是增函數，
∵f′（e）=lne+1-2=0，
∴當0＜t＜e時，f′（t）＜0，當t＞e時，f′（t）＞0，
∴f（t）在（0，e）上單調遞減，在（e，+∞）上單調遞增，
∴當t=e時，f（t）取得最小值f（e）=-e，
∴$\frac{1}{m}$≥-e，
解得m＞0或m≤-$\frac{1}{e}$．
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{e}$]∪（0，+∞）．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據函數與方程的關系，轉化為兩個函數相交問題，利用構造法和導數法求出函數的極值和最值是解決本題的關鍵．綜合性較強．