Question

（1）若a，b為實數，且a+b=2，求3^a+3^b的最小值；
（2）利用基本不等式證明不等式：已知a＞3，求證 a+

4

a-3

≥7；
（3）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求

4

x

+

9

y

的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）利用基本不等式的性質、指數運算法則即可得出；
（2）變形利用基本不等式的性質即可得出；
（3）利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．

解答： （ 1 ）解：∵3^a＞0，3^b＞0且a+b=2，
∴由基本不等式得：3a+3b≥2

3a+b

=6，當且僅當3^a=3^b且a+b=2，即a=b=1取等號．
∴3^a+3^b的最小值是6．
（2）證明：∵a＞3，∴a+

4

a-3

=(a-3)+

4

a-3

+3≥2

(a-3)• 4 a-3

+3=7；
當且僅當a-3=

4

a-3

，即a=5時等號成立．
（3）解：∵

4

x

+

9

y

=（

4

x

+

9

y

）•1=（

4

x

+

9

y

）•（x+y）=13+

4y

x

+

9x

y

≥25，
當且僅當

4y

x

=

9x

y

且x+y=1，即x=

2

5

，y=

3

5

取等號，
∴

4

x

+

9

y

得最小值為25．

點評：本題考查了指數運算性質、“乘1法”和基本不等式的性質，考查了變形能力與計算能力，屬于基礎題．