Question

已知M（-2，0），N（2，0）兩點，動點P在y軸上的射影為H，且使與分別是公比為2的等比數列的第三、四項．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知過點N的直線l交曲線C于x軸下方兩個不同的點A、B，設R為AB的中點，若過點R與定點Q（0，-2）的直線交x軸于點D（x₀，0），求x₀的取值范圍．

Answer 1

解：（1）M（-2，0），N（2，0），設動點P的坐標為（x，y），所以H（0，y），
所以，…（3分）…（5分），
由條件，得y²-x²=4，又因為是等比，所以x²≠0，
所以，所求動點的軌跡方程y²-x²=4（x≠0）．…（7分）
（2）設直線l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立方程組得，∴．
∴．
∴，…（10分）
，…（12分）
直線RQ的方程為，
∴，
∴．…（15分）
分析：（1）利用與分別是公比為2的等比數列的第三、四項．可求動點P的軌跡C的方程；
（2）將直線方程與曲線方程聯立，從而可表達出直線RQ的方程，進而可求x₀的取值范圍．
點評：本題以數列為載體，考查向量知識的運用，考查軌跡的求法，考查直線與曲線的位置關系，關鍵是將直線與曲線聯立求解．