Question

（2012•濟南二模）長沙市“兩會”召開前，某政協委員針對自己提出的“環保提案”對某處的環境狀況進行了實地調研．據測定，該處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數為k（k＞0）．現已知相距36km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為正數a，b，它們連線上任意一點C處的污染指數y等于兩化工廠對該處的污染指數之和．設AC=x（km）．
（Ⅰ）試將y表示為x的函數；
（Ⅱ）若a=1時，y在x=6處取得最小值，試求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求出點C受A、B污染源污染指數，即可得到點C處污染指數；
（Ⅱ） 求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數的極值與最值，進而可得結論．

解答：解：（Ⅰ） 設點C受A污染源污染指數為

ka

x

，點C受B污染源污染指數為

kb

36-x

，其中k為比例系數，且k＞0．…（2分）
從而點C處污染指數y=

ka

x

+

kb

36-x

(0＜x＜36)…（4分）
（Ⅱ） 因為a=1，所以y=

k

x

+

kb

36-x

，…（5分）
∴y′=k[-

1

x2

+

b

(36-x)2

]，…（7分）
令y′=0，得x=

36

1+ b

，…（9分）
當x∈(0，

36

1+ b

)時，y′＜0，函數單調遞減；當x∈(

36

1+ b

，+∞)時，y′＞0，函數單調遞增．
∴當x=

36

1+ b

時，函數取得最小值…（11分）
又此時x=6，解得b=25，經驗證符合題意．
所以，污染源B的污染強度b的值為25…（12分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，考查函數的最值，屬于中檔題．