Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²，數列{b_n}滿足bn=(

1

2

)a n
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）求證：不論n取何正整數，不等式a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜

10

9

恒成立．

Answer 1

分析：（1）根據題意，算出當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=2n-1，且n=1時a₁=S₁=1也符合通項．由此可得{a_n}的通項公式a_n；
（2）由（1）得b_n=(

1

2

)2n-1，證出{b_n}構成首項為

1

2

、公比q=

1

4

的等比數列，再利用等比數列的求和公式，即可算出數列{b_n}的前n項和T_n的表達式；
（3）設a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=S，利用{a_n}、{b_n}的表達式并結合錯位相減法算出S=

10

9

-

4

3

（

1

3×4n-1

+

2n-1

22n+1

）
而

4

3

（

1

3×4n-1

+

2n-1

22n+1

）＞0對任意n∈N^*成立，由此可得S＜

10

9

對任意n∈N^*恒成立，即不論n取何正整數，不等式a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜

10

9

恒成立．

解答：解：（1）由已知S_n=n²，得
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
當n=1時，a₁=S₁=2×1-1=1也成立
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1；
（2）由（1）得bn=(

1

2

)a n=(

1

2

)2n-1
∵

bn

bn-1

=

( 1 2 )2n-1

( 1 2 )2(n-1)-1

=

1

4

，
∴{b_n}構成首項為(

1

2

)1=

1

2

，公比q=

1

4

的等比數列
因此數列{b_n}的前n項和T_n=

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

2

3

(1-

1

4n

)；
（3）設a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=S
即S=1×

1

2

+3×

1

23

+…+（2n-1）×

1

22n-1

…①
兩邊都乘以

1

4

，得

1

4

S=1×

1

23

+3×

1

25

+…+（2n-3）×

1

22n-1

+（2n-1）×

1

22n+1

…②
①-②，得

3

4

S=

1

2

+2（

1

23

+

1

25

+…+

1

22n-1

）-

2n-1

22n+1

=

1

2

+

1 4 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-

2n-1

22n+1

=

1

2

+

1

3

（1-

1

4n-1

）-

2n-1

22n+1

=

5

6

-

1

3×4n-1

-

2n-1

22n+1

∴S=

10

9

-

4

3

（

1

3×4n-1

+

2n-1

22n+1

）
∵對任意n∈N^*，

4

3

（

1

3×4n-1

+

2n-1

22n+1

）＞0，∴

10

9

-

4

3

（

1

3×4n-1

+

2n-1

22n+1

）＜

10

9

對任意n∈N^*恒成立，
即不論n取何正整數，不等式a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜

10

9

恒成立．

點評：本題著重考查了等差、等比數列的通項公式和前n項和公式，考查了數列的通項與求和、利用錯位相減法求等差等比對應項相乘得到數列的和、不等式恒成立的討論等知識，屬于中檔題．