Question

13．已知三次函數f（x）=ax³+x-b（a＞0）在區間（0，1]內有零點，且f′（1）≤4，則f（-2）的取值范圍是（　　）

• A． （-10，-6）
• B． [-12，-2）
• C． [-12，-6）
• D． [-12，-10）

Answer 1

分析 先求導，判斷函數f（x）在（0，1]上單調遞增，則f（0）＜0且f（1）≥0，以及根據f′（1）≤4，求出a，b的范圍，代計算即可．

解答 解：f（x）=ax³+x-b（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+1＞0，在（0，1]內恒成立，
∴f（x）在（0，1]上單調遞增，
∵f′（1）≤4，
∴3a+1≤4，
∴a≤1，
∴0＜a≤1
∵函數f（x）=ax³+x-b（a＞0）在區間（0，1]內有零點，
∴f（0）＜0且f（1）≥0，
∴-b＜0，且a+1-b≥0，
∴0＜b≤2，
∴-2≤-b＜0，
∴f（-2）=-8a-2-b，
∵0＜a≤1，
∴-8≤-8a＜0，
∴-10≤-8a-2＜-2，
∴-12≤-8a-2-b＜-2
故-12≤f（-2）＜-2，
故選：B

點評 本題考查了導數和函數的單調性和關系，以及零點存在定理和不等式的基本性質，屬于中檔題．