Question

(1)比較x⁶＋1與x⁴＋x²的大小，其中x∈R．

(2)若x＜y＜0，試比較(x²＋y²)(x－y)與(x²－y²)(x＋y)的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x6＋1)－(x4＋x2) 　　＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1) 　　＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)(x2－1)(x2＋1) 　　＝(x2－1)2(x2＋1)． 　　當x＝±1時，x6＋1＝x4＋x2； 　　當x≠±1時，x6＋1＞x4＋x2． 　　(2)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) 　　＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2] 　　＝－2xy(x－y)． 　　∵x＜y＜0，∴xy＞0． 　　∴－2xy(x－y)＞0． 　　∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．

提示：

本題判斷差的符號是通過因式分解的方法實現的，最后定號，需進行分類討論．