Question

已知直線與橢圓相交于兩點，點是線段上的一點，且點在直線上.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若橢圓的焦點關于直線的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程.

 

Answer 1

(1);(2)

【解析】

試題分析：(1)設、，由題中的直線方程與橢圓方程聯立消去，得，由韋達定理得，進而得到，因此得的中點，且點在直線上建立關系得，進而得離心率的值；

（2）由（1）的結論，設橢圓的一個焦點關于直線的對稱點為，且被直線垂直且平分建立方程組，解之得且，結合點在單位圓上，得到關于的方程，并解得，由此即可得到橢圓方程.

（1）由知M是AB的中點，

設A、B兩點的坐標分別為

由

，

∴M點的坐標為

又M點的直線l上：

,

（2）由（1）知，根據對稱性，不妨設橢圓的右焦點關于直線l：上的對稱點為，

則有

由已知，

∴所求的橢圓的方程為

考點：橢圓的標準方程及簡單的幾何性質；兩點關于一條直線對稱；直線與橢圓的位置關系.