Question

已知向量

p

=（cos2x，a），

q

=（a，2+

3

sin2x），函數f（x）=

p

•

q

-5（a∈R，a≠0）
（1）求函數f(x)在[0，

π

2

]上的最大值
（2）當a=2時，若對任意的t∈R，函數y=f（x），x∈（t，t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個不同的交點，試確定b的值，（不必證明），并求函數y=f（x）在（0，b]上的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）把向量的坐標代入

p

•

q

，再由兩角和的正弦公式對解析式整理，再由x∈[0，

π

2

]求出2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，再由正弦函數的性質求出sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，最后再對a進行分類求出對應的最大值；
（2）把a的值代入求出函數的周期，再由條件和正弦函數圖象和性質求出b的值，再由正弦函數的單調區間和整體思想求出增區間，再結合x的范圍求出增區間．

解答：解：（1）由題意得f（x）=

p

•

q

-5
=acos2x+

3

asin2x+2a-5
=2asin(2x+

π

6

)+2a-5，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
當a＞0時，f（x）的最大值為4a-5，
當a＜0時，f（x）的最大值為a-5，
（2）當a=2時，y=f(x)=-4sin(2x+

π

6

)-1，
∴函數的最小正周期為π，
∵函數y=f（x），x∈（t，t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個不同的交點，
∴-4sin(2x+

π

6

)-1=-1，即-4sin(2x+

π

6

)=0在∈（t，t+b]上有且僅有兩個不同的實根，
∴b的值為π，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ得，

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，（k∈Z）
∵x∈[0，π]，∴k=0，
函數y=f（x）在[0，π]上的單調遞增區間為[

π

6

，

2π

3

]．

點評：本題考查了數量積的坐標公式應用，以及正弦函數的性質應用，考查了分類討論思想和整體思想．