Question

已知向量

p

=（-cos 2x，a），

q

=（a，2-

3

sin 2x），函數f（x）=

p

•

q

-5（a∈R，a≠0）．
（1）求函數f（x）（x∈R）的值域；
（2）當a=2時，若對任意的t∈R，函數y=f（x），x∈（t，t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個不同的交點，試確定b的值（不必證明），并求函數y=f（x）的在[0，b]上單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式，結合輔助角公式化簡函數，利用-1≤sin(2x+

π

6

)≤1，對a討論，即可求得函數f（x）（x∈R）的值域；
（2）由題設函數y=f（x），x∈（t，t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個不同的交點及函數y=f（x）的最小正周期為π可知，b的值為π，利用正弦函數的單調性，可求函數y=f（x）在[0，π]上的單調遞增區間．

解答：解：（1）f（x）=

p

•

q

-5=-acos2x-

3

asin2x+2a-5=-2asin(2x+

π

6

)+2a-5．…（2分）
因為x∈R，所以-1≤sin(2x+

π

6

)≤1
當a＞0時，-2a×1+2a-5≤f（x）≤-2a×（-1）+2a-5．
所以f（x）的值域為[-5，4a-5]．…（4分）
同理，當a＜0時，f（x）的值域為[4a-5，-5]．…（6分）
（2）當a=2時，y=f(x)=-4sin(2x+

π

6

)-1，由題設函數y=f（x），x∈（t，t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個不同的交點及函數y=f（x）的最小正周期為π可知，b的值為π．…（8分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．…（10分）
因為x∈[0，π]，所以k=0，
∴函數y=f（x）在[0，π]上的單調遞增區間為[

π

6

，

2π

3

]．…（12分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，屬于中檔題．