Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2+c2-b2=

3

ac．
（1）求sin2

A+C

2

+cos2B的值；
（2）若b=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosB，將已知的等式代入求出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出B的度數，
（1）由B的度數求出cosB的值，將所求式子第一項中的角利用三角形的內角和定理變形，并利用誘導公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，將cosB的值代入即可求出值；
（2）由B的度數求出sinB的值，將b的值代入已知的等式并利用基本不等式求出ac的最大值，由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：∵a²+c²-b²=

3

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3 ac

2ac

=

3

2

，
又B為三角形的內角，
∴B=

π

6

，
（1）原式=sin²

π-B

2

+cos2B=cos²

B

2

+cos2B=

1

2

（1+cosB）+2cos²B-1
=

1

2

（1+

3

2

）+2×（

3

2

）²-1=1+

3

4

；
（2）∵b=2，
∴

3

ac=a²+c²-b²=a²+c²-4≥2ac-4，
∴ac≤

4

2- 3

=4（2+

3

）（當且僅當a=c=

2

+

6

時取等號），
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

4

ac≤2+

3

，
則△ABC面積的最大值為2+

3

．

點評：此題考查了余弦定理，二倍角的余弦函數公式，誘導公式，三角形的面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．