Question

（本小題共14分）
如圖，在四棱柱中，底面是正方形，側棱與底面垂直，點是正方形對角線的交點，，點，分別在和上，且．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）若，求的長；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：取，連結和,

∴，∥，，∥，
∴，∥．
∴四邊形為平行四邊形，
∴∥，
在矩形中，，
∴四邊形為平行四邊形．
∴∥，∥．
∵平面，平面，
∴∥平面．      ————————4分
（Ⅱ）連結，在正四棱柱中，
平面，
∴，，
∴平面，
∴．
由已知，得平面．
∴，，
在△與△中， ，，
∴△∽△
∴，．—————————9分
（Ⅲ）以為原點，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系．
．
，
由（Ⅱ）知為平面的一個法向量，
設為平面的一個法向量，
則 ，即 ，
令，所以 ．
∴，
∵二面角的平面角為銳角，
∴二面角的余弦值為． —————————13分

略