Question

定義在定義域D內的函數y=f(x),若對任意的x₁、x₂∈D,都有|f(x₁)－f(x₂)|＜1,則稱函數y=f(x)為“Storm函數”．已知函數f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)．
（1）若，求過點處的切線方程；
（2）函數是否為“Storm函數”?如果是,請給出證明;如果不是,請說明理由．

Answer 1

（1）（2）當c≤－時，ax²+bx+c≤0的解集為R

本題屬于信息遷移題,主要考查利用導數求函數的極值．（1），，切線方程為．
（2）函數f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的導數是f′(x)=3x²－1,
當3x²－1=0時,即x=±,
當x＜時,f′(x)=3x²－1＜0;當x＞時,f′(x)=3x²－1＞0,
故f(x)在x∈［－1,1］內的極小值是a－．
同理,f(x)在x∈［－1,1］內的極大值是a+．
∵f(1)=f(－1)=a,
∴函數f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的最大值是a+,最小值是a－,
因為|f(x₁)－f(x₂)|＜|f_max－f_min|,
故|f(x₁)－f(x₂)|＜|f_max－f_min|=＜1．
所以函數f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)是“Storm函數”．