Question

已知函數f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函數，
（Ⅰ）實數m的取值集合為A，當m取集合A中的最小值時，定義數列{a_n}滿足a₁=3，且a_n＞0，an+1=

-3f′(an)+9

，求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=na_n，數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：Sn＞

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，由函數f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函數，得其導函數在（0，1）上大于等于0恒成立，分離參數后求出m的取值集合A，把m的最小值代入導函數解析式，由an+1=

-3f′(an)+9

整理得到數列{a_n}是等比數列，并求出公比，在數列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把數列{a_n}的通項公式代入b_n=na_n，利用錯位相減法求得數列{b_n}的前n項和為S_n，放縮后可證得不等式Sn＞

3

4

．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=-x³+mx，得f′（x）=-3x²+m，
∵f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函數，∴f′（x）=-3x²+m≥0在（0，1）上恒成立，
即m≥3x²，得m≥3，
故所求的集合A為[3，+∞）；
∴m=3，∴f′（x）=-3x²+3，
∵an+1=

-3f′(an)+9

，a_n＞0，∴an+1=

9an2

=3a_n，
又a₁=3≠0，∴

an+1

an

=3，
∴數列{a_n}是以3為首項，以3為公比的等比數列，故an=3•3n-1=3n；
（Ⅱ）由（1）得，b_n=na_n=n•3ⁿ，
∴S_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ        ①
3S_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹      ②
①-②得，-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹
化簡得，Sn=

3

4

+

(2n-1)•3n

4

＞

3

4

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，訓練了分離參數法求最值，考查了等比關系的確定，訓練了錯位相減法求數列的前n項和，考查了利用放縮法證明不等式，是中高檔題．