Question

（2012•合肥一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，拋物線：x²=a²y．直線l：x-y-1=0過橢圓的右焦點F且與拋物線相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A，B為拋物線上兩個不同的點，l₁，l₂分別與拋物線相切于A，B，l₁，l₂相交于C點，弦AB的中點為D，求證：直線CD與x軸垂直．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定切線的斜率，設切點，利用直線l：x-y-1=0過橢圓的右焦點F且與拋物線相切，即可求得橢圓方程；
（2）設切點坐標，求得拋物線在A、B處的切線方程兩式相減，證明x_C=x_D，即可證得直線CD與x軸垂直．

解答：（1）解：由題意，∵x²=a²y，∴y=

x2

a2

，∴y′=

2x

a2

設切點為（x，

x2

a2

），則

2x a2 =1 x2 a2 =x-1

，解得x=2，a²=4
∵直線l：x-y-1=0過橢圓的右焦點F，
∴c=1，可得b²=3
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）證明：拋物線方程為：x²=4y，設A（x₁，

x 2 1

4

），B（x₂，

x 2 2

4

）（x₁≠x₂）
拋物線在A處的切線為y=

x1

2

x-

x 2 1

4

，在B處的切線為y=

x2

2

x-

x 2 2

4

兩式相減可得

x1

2

x-

x 2 1

4

=

x2

2

x-

x 2 2

4

∴x=

x1+x2

2

，即xC=

x1+x2

2

∵D為AB的中點，∴xD=

x1+x2

2

∴x_C=x_D
∴直線CD與x軸垂直．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查拋物線的切線，解題的關鍵是利用導數確定切線的斜率與方程，屬于中檔題．